PengDaaa66の気まぐれブログ

時間に余裕があるときに色々なことを書きたいと思います。

日常生活を確率論的視点から眺める

 

大学の図書館で数学セミナーを読んでいて、タイトルに惹かれれて読んだ記事を簡単に紹介したいと思います。興味が湧いた人はオリジナルを読んでいただければ幸いです。

 

『確率にだまされていないか:ギャンブラーの破綻』

森 真 (数学セミナー2012年3月号)

 

 

危機管理の重要性

 

 

さて、いきなりですが、この世の中に想定外ということはあり得るのでしょうか?

 

ここで、ある事象  X が起こる確率を  p とします。すると、このとき事象  X が起こらない確率は余事象の確率となるので  1-p となります。 

 

 n 回目に初めて事象  X が起こる確率を求めてみると、 p(1-p)^{n-1} となります。

 

ん?と思っている人のために具体的に考えてみましょう。

1回目に事象  X が起こる確率は  p

2回目に事象  X が起こる確率は、1回目に事象  X は起こらず、2回目に起こるので求めたい確率は  p(1-p)

 

帰納的に考えていくと、 n 回目に事象  X が起こるとき、 n-1 回目までは事象  X は一度も起こらないので、そこまでの確率は  (1-p)^{n-1} 。そして、 n 回目に事象  X が起こればいいので求めたい確率は  p(1-p)^{n-1} となります。

 

具体的に説明するつもりでしたが、具体的でしたよね?

 

では、いずれ事象  X が起こる確率を求めてみましょう。

 X 回目までに事象  X が起こる確率は、1回目に事象  X が起こる確率から  n 回目に事象  X が起こる確率の和になります。(  \because 互いに排反な事象ですから、確率の足し算で求められます。)

計算すると

 p+p(1-p)+\cdots+p(1-p)^{n-1} = 1-(1-p)^n

となり、 n\to\infty とすれば1に収束します。確率が1ということは事象  X が100%起こることを意味しています。

 

このことから、どんな場面、状況においても最悪の事態は起こり得るということです。

リスクマネジメントの重要性を感じさせられますよね。まぁ、クラシスマネジメントも大切ですが。

 

 

ペテルスブルグのパラドックス

 

コイントスについて考えます。当たり前かもしれませんが、表の出やすさ、裏の出やすさは同じであるとします。(このことを、これらの事象は同様に確からしいと言います。)

表が初めて出るまでに出た裏の回数が  n 回ならば、賞金として  2^n 円のお金が貰えます。10回連続で表が出続ければ、賞金は1,024(  = 2^{10} )円です。20回連続なら1,048,576(  = 2^{20} )円にもなります。

驚くべきことに、このゲームによって獲得できる賞金の期待値は  \infty です。

 

つまり、このゲームに参加すれば億万長者間違いなしです!!

 

 

ここまでの説明を聞けば、誰しもがこのゲームに参加したくなるかもしれません。

では、みなさんに尋ねましょう。

 

参加費用は1回(裏が出てゲームが終了するまで)10,000円だとしたら、参加しますか?

 

 

実際、参加費用が10,000円のこのゲームで利益を得るためには、 2^{13}=8,192 2^{14}=16,384 であることから、14回以上連続で表を出さなくてはなりません。

この話を聞いたら、さっきまでやってみたかった人もやりたくなくなったのではないでしょうか?

 

期待値にだまされて損をしないようにしたいですね。

 

11の倍数の判定法について

現行の学習指導要領における数学Aの授業を受けた人は,整数の性質という分野で倍数の判定法を学習したのではないでしょうか.

 

僕が高校時代使っていた数学Aの教科書には次のような判定法が載っています.

 

  • 2の倍数 一の位が 0, 2, 4, 6, 8 のいずれかである.
  • 3の倍数 各位の数の和が 3 の倍数である.
  • 4の倍数 下2桁が 4 の倍数である.
  • 5の倍数 一の位が 0, 5 のいずれかである.
  • 8の倍数 下3桁が 8 の倍数である.
  • 9の倍数 各位の数の和が 9 の倍数である.

 

6の倍数の判定法は,教科書には載っていませんが  6 = 2 \times 3 なので容易に推測できるのではないでしょうか.

 

では,11の倍数であることを判定するためにどうすればいいのでしょうか?

 

結論を言うと,

 

10の指数が奇数である位の数の和と10の指数が偶数である位の数の和の差が11の倍数である.

 

です.ただし,今考えているの整数は10進数です!(当たり前かもしれませんが,念のため......)

とは言っても,分かりにくいと思うので例を挙げてみます.

 

:  83941

 

10の指数が偶数である位は,一万の位の8,百の位の9,一の位の1であり,10の指数が奇数である位は,千の位の3,十の位の4であるので,それぞれ和をとり,その差をもとめると11になります.11が11の倍数であるのは明らかなので,83941は11の倍数であることがわかります.

 

 

最後に,この判定法が正しいことを証明してみましょう.

今回は6桁の場合で示してみます.

 

 

証明.

任意に6桁の整数  N を選び,その数の各位の数を位が大きい方から  \alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta,\,\epsilon,\,\zeta とすると,

 N = 10^5\alpha+10^4\beta+10^3\gamma+10^2\delta+10^1\epsilon+10^0\zeta

と表せます.このとき, N_i\in\mathbb{N} (i=0,1,2,3,4,5) とすると,

 N = (11-1)^5\alpha+(11-1)^4\beta+(11-1)^3\gamma+(11-1)^2\delta+(11-1)^1\epsilon+(11-1)^0\zeta

  = \{11N_5+(-1)^5\}\alpha ++\{11N_4+(-1)^4\}\beta+\{11N_3+(-1)^3\}\gamma+\{11N_2+(-1)^2\}\delta+\{11N_1+(-1)^1\}\epsilon+\{11N_0+(-1)^0\}\zeta

  = 11(N_5\alpha + N_4\beta + N_3\gamma + N_2\delta + N_1\epsilon + N_0\zeta) \underline{-\alpha+\beta-\gamma+\delta-\epsilon+\zeta}

よって,最後の式の下線部が11の倍数であれば  N が11の倍数ということが言えます.

以上で証明は終わりです.

大学入学共通テスト平成30年度試行調査の問題を見てみて

この記事を読んでいる人は,もうすでに大学入試センターが公開している試行調査問題を閲覧されているでしょうか.正直,この記事を書いている僕自身,全ての問題を解いてみたわけではありませんので,気楽に読んでいただければ幸いです.もし,どんな問題が出題されたのか気になる方はここから確認してみてください.

これまでのセンター試験と大きく異なる新試験の特徴の1つは,記述によって解答しなくてならない問題があるというものです.数学の話です.

 

 数学I・A

まず,今更かもしれませんが試験時間が70分間なんですね. 数学II・Bは60分間のままなのに.......まぁ,記述問題を簡単に見てみましょう.

 

  • 集合と命題に関する問題.集合 A有理数全体とするとき,「1のみを要素にもつ集合は集合 Aの部分集合である.」ことを数学的に記号を用いて書くとどう書けるか. 1\in A 1 \subset Aと書かないように注意ですね. \{1\}\subset Aですよ!!  \{1\}\subset \mathbb{Q}と書きたくならないこともないですが,ちゃんと問題に従いましょう.
  • 三角比に関する問題.階段と絡めてくるとはなかなか面白いですね.この問題は悩むのではないでしょうか?ただ単に僕の国語力がクソなんでしょうかね.答は  26 \leqslant x \leqslant \dfrac{18}{ \tan{33^\circ}}です.有名角でないため戸惑う高校生はいそうですよね.
  • 図形の性質に関する問題.いわゆる謎の動く点Pの問題.なんと動くのは点Pだけではありません.点Q,Rも動くみたいです.数学が苦手な人からすれば,たまったもんではありませんね.

 

 数学II・B

 試験時間は現行のセンター試験と変わらず.では,記述問題を見てみましょう!!

 

って,記述問題がありませんでした.それが変わらず60分の理由ですかね.ただ,第3問目に確率分布と統計的な推測が割り込んでますね (笑).ただ,問題自体はユニークがと思います.特に,対数ものさし.ベクトルでは,人間の手が登場!!

 

 

 

現高1のみんな! 頑張れ!

 

もしかして,来春の配属先が高校ってことはないよね.......