PengDaaa66の気まぐれブログ

時間に余裕があるときに色々なことを書きたいと思います。

11の倍数の判定法について

現行の学習指導要領における数学Aの授業を受けた人は,整数の性質という分野で倍数の判定法を学習したのではないでしょうか.

 

僕が高校時代使っていた数学Aの教科書には次のような判定法が載っています.

 

  • 2の倍数 一の位が 0, 2, 4, 6, 8 のいずれかである.
  • 3の倍数 各位の数の和が 3 の倍数である.
  • 4の倍数 下2桁が 4 の倍数である.
  • 5の倍数 一の位が 0, 5 のいずれかである.
  • 8の倍数 下3桁が 8 の倍数である.
  • 9の倍数 各位の数の和が 9 の倍数である.

 

6の倍数の判定法は,教科書には載っていませんが  6 = 2 \times 3 なので容易に推測できるのではないでしょうか.

 

では,11の倍数であることを判定するためにどうすればいいのでしょうか?

 

結論を言うと,

 

10の指数が奇数である位の数の和と10の指数が偶数である位の数の和の差が11の倍数である.

 

です.ただし,今考えているの整数は10進数です!(当たり前かもしれませんが,念のため......)

とは言っても,分かりにくいと思うので例を挙げてみます.

 

:  83941

 

10の指数が偶数である位は,一万の位の8,百の位の9,一の位の1であり,10の指数が奇数である位は,千の位の3,十の位の4であるので,それぞれ和をとり,その差をもとめると11になります.11が11の倍数であるのは明らかなので,83941は11の倍数であることがわかります.

 

 

最後に,この判定法が正しいことを証明してみましょう.

今回は6桁の場合で示してみます.

 

 

証明.

任意に6桁の整数  N を選び,その数の各位の数を位が大きい方から  \alpha,\,\beta,\,\gamma,\,\delta,\,\epsilon,\,\zeta とすると,

 N = 10^5\alpha+10^4\beta+10^3\gamma+10^2\delta+10^1\epsilon+10^0\zeta

と表せます.このとき, N_i\in\mathbb{N} (i=0,1,2,3,4,5) とすると,

 N = (11-1)^5\alpha+(11-1)^4\beta+(11-1)^3\gamma+(11-1)^2\delta+(11-1)^1\epsilon+(11-1)^0\zeta

  = \{11N_5+(-1)^5\}\alpha ++\{11N_4+(-1)^4\}\beta+\{11N_3+(-1)^3\}\gamma+\{11N_2+(-1)^2\}\delta+\{11N_1+(-1)^1\}\epsilon+\{11N_0+(-1)^0\}\zeta

  = 11(N_5\alpha + N_4\beta + N_3\gamma + N_2\delta + N_1\epsilon + N_0\zeta) \underline{-\alpha+\beta-\gamma+\delta-\epsilon+\zeta}

よって,最後の式の下線部が11の倍数であれば  N が11の倍数ということが言えます.

以上で証明は終わりです.